Что такое математика?

Вопрос о том, является ли математика «перечислением следствий из произвольных аксиом» или же ветвью естествознания и теоретической физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося, вслед за Декартом и предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре (основателя современной математики, топологии и теории хаоса и динамических систем). Я буду говорить в основном о содержательных примерах, показывающих кардинальные различия точек зрения аксиомофилов и естествоиспытателей уже на столь фундаментальные понятия, как производные и пределы, теоремы существования и единственности, оптимизация и теория управления, как неразрешимость одних проблем и измерение сложности других. Исходным пунктом для меня послужила дискуссия между Я. Б. Зельдовичем и Л. С. Понтрягиным о преподавании математики и сообщение лунного баллистика М. Л. Лидова о невозможности плавного причаливаниякораблякпристани—соднойстороны,асдругой—ошибкивкнигах Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?» и И. М. Гельфанда, Е. Г. Глаголевой и Э. Э. Шноля «Функции и графики». Считая, что ошибки составляют не менее важную часть математики, чем доказательства, я надеюсь рассказать также о причинах невозможности обойтись при геометрических построениях одной линейкой без циркуля, о малоизвестных взаимоотношениях Лобачевского и Евклида с постулатом о параллельных, о связи теоремы Абеля (о неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах) с топологией римановых поверхностей и с его же теорией интегрирования в элементарных функциях, а также о математических открытиях Плутарха и А. Д. Сахарова. В 1949 г. математику в СССР хотели уничтожить, вероятно, вследствие распространения мнения (Г. Харди, идеи которого впоследствии развил Ю. Манин, и других «математиков»), будто основным достоинством математики является ее «полная бесполезность». Огорчительно, конечно, что с этим снобистским мнением еще приходится бороться и сегодня, но я надеюсь ему, по мере сил, противостоять (см. ниже § 2 о мракобесии в математике).