Эта книга представляет собой первую часть учебного пособия по курсу «Алгебра и теория чисел», изучаемому на физико-математических факультетах пединститутов. Она охватывает в основном материал первого семестра.Содержание.
Элементы теории множеств и логики.
Множества.
Операции над множествами.
Прямое произведение множеств. Отношение.
Высказывания и предикаты.
Логические операции и правила вывода.
Аксиомы натурального ряда и принцип математической индукции.
Системы линейных уравнений и линейных неравенств.
Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса.
Следствие метода Гаусса.
Системы линейных неравенств.
Свойства систем линейных неравенств.
Арифметические векторы.
Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn.
Линейная зависимость.
Две теоремы о линейной зависимости.
Базис и ранг системы векторов.
Матрица, ее строчечный и столбцевой ранги.
Совпадение строчечного и столбцевого рангов. Ранг матрицы.
Исследование системы линейных уравнений.
Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.
Однородная система линейных уравнений. Фундаментальный набор решений.
Однородная система линейных неравенств. Фундаментальный набор решений.
Матрицы и определители.
Операции над матрицами.
Свойства умножения матриц.
Обратная матрица.
Нахождение обратной матрицы A-1 для невырожденной матрицы A.
Определитель квадратной матрицы.
Свойства определителей.
Разложение определителя по строке или столбцу.
Вычисление определителей n-го порядка.
Условие вырожденности квадратной матрицы. Теорема об определителе произведения.
Условие существования ненулевого решения однородной системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Правило Крамера для системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Теорема о ранге матрицы.
